Volume maximal - Solution 5

1. \(x\) est une longueur donc \(x \geqslant 0\) .

De plus, on enlève \(x\) cm aux deux extrémités des côtés du carré donc \(2x \leqslant 20\) soit \(x \leqslant 10\) .

Finalement,  \(x\)  est compris entre 0 et 10 .

2. La boîte sans couvercle obtenue a la forme d'un pavé droit dont la base est un carré de côté \(20-2x\) cm et la hauteur vaut \(x\) cm.

Pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;10]\) , on a donc :

\(V(x)=(20-2x)^2 \times x = (400-80x+4x^2)\times x=400x-80x^2+4x^3\)

soit    \(V(x)=4x^3-80x^2+400x\) .

3. La fonction \(V\) est dérivable sur \([0~;10]\) et, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;10]\) , \(V'(x)=4\times 3x^2-80 \times 2x +400\) soit \(V'(x)=12x^2-160x+400\) .

Or \(4(x-10)(3x-10)=4(3x^2-10x-30x+100)=12x^2-40x-120x+400=12x^2-160x+400\)

Donc    \(V'(x)=4(x-10)(3x-10)\) .

4. \(4>0\) donc \(V'(x)\) a le même signe que \((x-10)(3x-10)\) .

5.

\(V(0)=V(10)=0\)  et  \(V\left(\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{16\,000}{27}\) d'après la calculatrice.

6. Le volume de la boîte est maximal pour \(x=\dfrac{10}{3}\) cm soit    \(x \approx 3,3\)  cm .

7. Le volume maximal de la boîte est \(\dfrac{16\,000}{27}\) cm \(^3\) soit environ \(593\) cm \(^3\) (valeur arrondie à l'unité) et \(593<600\) donc  Adélina ne peut pas obtenir une boîte de volume 600 cm \(^3\) .